在底面内，\(HB^2 = AH^2 + AB^2 = 1^2 + 2^2 = 5\)。
\(HC^2 = HD^2 + CD^2 = 4^2 + 2^2 = 20\)。
\(BC^2 = AD^2 = 5^2 = 25\)。
因为 \(HB^2 + HC^2 = BC^2\)，所以 \(\angle BHC = 90^\circ\)，即 \(HC \perp HB\)。
又因 \(PH \perp\) 底面，得 \(PH \perp HC\)。
从而 \(HC \perp\) 平面 \(PBH\)，故 \(HC \perp PB\)。
当体积 \(V = \frac{10\sqrt{5}}{3}\) 时，由 \(V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot PH\)，得 \(PH = \sqrt{5}\)。
作 \(HQ \perp PB\) 于 \(Q\)，连结 \(CQ\)。
由 (1) 知 \(HC \perp\) 平面 \(PBH\)，得 \(HC \perp PB\)。
因此 \(PB \perp\) 平面 \(HCQ\)，从而 \(CQ \perp PB\)。
故 \(\angle HQC\) 即为二面角 \(C-PB-H\) 的平面角。
计算得：\(HQ = \frac{\sqrt{10}}{2}\)，\(HC = 2\sqrt{5}\)。
在 Rt\(\triangle HCQ\) 中，\(\cos\angle HQC = \frac{1}{3}\)。